מבוא לסטטיסטיקה לתלמידי מדעי החברה א

Transcript

1 0 מבוא לסטטיסטיקה לתלמידי מדעי החברה א Uמותאם אישית לאוניברסיטה הפתוחה ברק קנדל

2 1T 1 Uסטודנטים יקרים לפניכם ספר תרגילים בקורס מבוא לסטטיסטיקה לתלמידי מדעי החברה א באוניברסיטה הפתוחה. הספר הוא חלק מקורס חדשני וראשון מסוגו בארץ, המועבר ברשת האינטרנט.On-line הקורס באתר כולל Uפתרונות U מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלוונטית לכל נושא ונוש הקורס כולו מוגש בסרטוני וידאו המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובנית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שנעשה בשיעור פרטי, להדגמה 1TUלחצו כאן (Uwww.gool.co.il/stata.htmlU1T ) U1T את הקורס בנה מר ברק קנדל, מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שונים ובעל ניסיון עתיר בהוראת המקצוע. אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה, סובלים מלקויות למידה, רוצים להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית, אנחנו מזמינים אתכם לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין. היכנסו עכשיו ל- אנו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחינות צוות האתר GooL גוּל, בּ ש ב יל הת רגוּל...

3 תוכן Uלתשומת לבכם, הפרקים הנלמדים באוניברסיטה הפתוחה הם 1-5 כאשר סעיף המופיע בצבע אפור נטוי אינו נכלל בחומר הלימוד של הקורס. פרק ראשון - סטטיסטיקה תיאורית הצגת נתונים... 4 מדדי מיקום מרכזי (שכיח, אמצע טווח, חציון, ממוצע)... 5 מדדי פיזור (טווח, טווח בינרבעוני, שונות, סטיית תקן)... 6 מדדי מיקום יחסי (ציון תקן, מאונים)... 6 ממוצע משוקלל ושונות מצורפת... 7 טרנספורמציה לינארית (תכונות המדדים)... 8 שאלות מסכמות... 9 תשובות סופיות לפרק ראשון פרק שני - מדדי קשר מדדי קשר למשתנים שמיים מדד הקשר של ספירמן מדד הקשר של פירסון תשובות סופיות לפרק שני... 1 פרק שלישי - יסודות ההסתברות בעיות בסיסיות בהסתברות... פעולות בין מאורעות... 3 קומבינטוריקה (רק רמה א)... 5 הסתברות מותנה ודיאגרמת עצים... 8 תלות בין מאורעות שאלות מסכמות תשובות סופיות לפרק שלישי... 3

4 3 פרק רביעי המשתנה המיקרי הבדיד פונקצית ההסתברות תוחלת, שונות וסטיית תקן טרנספורמציה לינארית (תכונות התוחלת, השונות וסטיית התקן) תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים ההתפלגות הבינומית ההתפלגות הגיאומטרית ההתפלגות הפואסונית שאלות מסכמות (ללא שאלה 4) תשובות סופיות לפרק רביעי... 4 פרק חמישי המשתנה המקרי הרציף פונקציית הצפיפות וההתפלגות המצטברת ההתפלגות הנורמלית ההתפלגות האחידה ההתפלגות המעריכית תשובות סופיות לפרק חמישי פרק שישי המשתנה הדו.מימדי הבדיד תרגילים שונים... 5 תשובות סופיות לפרק שישי דף נוסחאות... 55

5 4 Uפרק ראשון סטטיסטיקה תיאורית Uהצגת נתונים: להלן רשימת הציונים של 0 תלמידים שנבחנו במבחן הבנת הנקרא: 7,6,8,9,10,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6.1 מהו המשתנה? האם הוא בדיד או רציף? תאר את הרשימה בטבלת שכיחויות. ג. הוסף שכיחויות יחסיות לטבלה. ד. תאר את הנתונים באופן גרפי.. להלן היסטוגרמה המתארת את התפלגות הגבהים בס"מ של קבוצה מסוימת: אנשים 5= גובה מהו המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף? תאר את הנתונים בטבלת שכיחויות במחלקות. ג. הוסף שכיחות יחסית לטבלה. ד. הוסף את הצפיפות של כל מחלקה לטבלה. ה. מהי צורת ההתפלגות של הגבהים?

6 5 3. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: מספר מקרים משקל תאר את ההתפלגות באופן גרפי. מה ניתן להגיד על צורת ההתפלגות? Uמדדי מיקום מרכזי: 1. חשב את החציון, השכיח, אמצע הטווח והממוצע של שאלה 1 בפרק הקודם.. על פי הנתונים של שאלה בפרק הקודם : חשב את החציון, השכיח, אמצע הטווח והממוצע של הגבהים. האם היה ניתן לדעת על סמך הגרף בלבד האם הממוצע יהיה קטן מהחציון? 3. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה שנספרו עבור כל משפחה בישוב מסוים: מספר משפחות מספר מקלטים חשב את הממוצע, החציון, השכיח ואמצע הטווח של ההתפלגות. הסבר ללא חישוב כיצד כל מדד שחישבת בסעיף א' היה משתנה אם חלק מהמשפחות (לא כולן) שלא היה להם עד היום טלוויזיה היו רוכשים מקלט אחד. על סמך הגרף בלבד וללא חישוב מפורש הסבר מה הם כל מדדי המרכז של שאלה 3 בפרק הקודם..4

7 6 ג. Uמדדי פיזור: 1. חשב את השונות, סטיית התקן והטווח עבור הנתונים משאלה 1 פרק א'.. עבור הנתונים משאלה פרק א ' : ג. חשב את השונות, סטיית התקן. חשב את הטווח והטווח הבינרבעוני. אם יתווספו עוד 10 אנשים למחלקה שבה הגובה בין 155 ס"מ ל- 160 ס"מ. כיצד ישתנו המדדים הבאים: הממוצע, החציון, השונות והטווח. הסבר ללא חישוב! 3. עבור נתוני שאלה 3 פרק ב' חשב את סטיית התקן. נתונה רשימה של 5 תצפיות, אך רק עבור 4 מהן נרשמו הסטיות שלהן מהממוצע: 1-, 3,,. חשב את השונות של חמש התצפיות..4 ד. Uמדדי מיקום יחסי: תלמידי כיתה ח' נגשו למבחן בלשון ולמבחן במתמטיקה. להלן התוצאות שהתקבלו: סטיית תקן ממוצע המקצוע 1 74 לשון מתמטיקה.1 עודד קיבל: 68 בלשון ו- 70 במתמטיקה. באיזה מקצוע עודד טוב יותר באופן יחסי לשכבה שלו? איזה ציון עודד צריך לקבל במתמטיקה כדי שיהיה שקול לציונו בלשון?

8 7. בהמשך לנתוני שאלה פרק א' חשב את: העשירון התחתון. האחוזון ה- 30. ג. הגובה ש- 0% מהתצפית גדולות ממנו. ד. את אחוז התצפיות מתחת לגובה 158 ס"מ. ה. את אחוז התצפיות מעל לגובה 185 ס"מ. ו. את אחוז התצפיות בין גובה 170 ס"מ ל- 185 ס"מ. ה. Uממוצע משוקלל ושונות מצורפת: 1. להלן נתונים לגבי ציונים במבחן באנגלית ב- 3 כיתות מתוך שכבה י' בתיכון: כיתה 1 3 ממוצע מס' תלמידים סטיית תקן חשב את הממוצע המשוקלל בשכבה. חשב את השונות המצורפת בשכבה. נתונות שתי קבוצות: בקבוצה.II פי שתים תצפיות מאשר בקבוצה I הממוצע בשתי הקבוצות הוא 70. השונות בקבוצה I היא 100. השונות בקבוצהII היא מצא את הממוצע של התצפיות לאחר שאוחדו שתי הקבוצות לקבוצה אחת. מצא את סטיית התקן של התצפיות לאחר שאוחדו שתי הקבוצות לקבוצה אחת.

9 8 ו. U טרנספורמציה לינארית: עבור סדרת נתונים התקבל: X = 80 S = 15 MO = 70 הוחלט להכפיל את כל התצפיות פי- 4 ולהחסיר מהתוצאה 5. חשב את המדדים הללו לאחר השינוי..1 בחברה מסוימת השכר הממוצע הוא 40 לשעה עם סטיית תקן של 5 לשעה. הוחלט להעלות את כל המשכורות ב-, 10% אך זה לא סיפק את העובדים ולכן הם קיבלו לאחר מכן תוספת של לשעה. מה הממוצע ומהי השונות של השכר לשעה לאחר כל השינויים.. בהמשך לשאלה פרקים א', ב', ג', ו-ד'.הסתבר שנפלה טעות והוספו 5 ס"מ לכל התצפיות. מה הם החציון, השונות, הטווח והעשירון התחתון של התצפיות ללא הטעות..3 בהמשך לשאלה פרקים א', ב', ג', ו-ד'. מעוניינים להמיר את הגובה מס"מ למטרים. כיצד הדבר משפיע על החציון, השונות, הטווח והעשירון התחתון..4

10 9 ז. Uשאלות מסכמות: בפקולטה להנדסה אספה מזכירות הסטודנטים נתונים לגבי מס' הקורסים שכל סטודנט סיים בשנה הראשונה ללימודיו בשנת 008. להלן התוצאות שהתקבלו: מספר הסטודנטים מספר הקורסים ג. ד. ה. מה המשתנה הנחקר? האם הוא בדיד או רציף? מהי צורת ההתפלגות? תאר את הנתונים בטבלת שכיחויות. חשב את השכיח, החציון והטווח. הסבר האם הממוצע גדול/קטן/שווה לחציון? הסבר.

11 10 להלן התפלגות הציונים בבחינה בלשון שנעשתה עבור תלמידי כיתות ד'. השתתפו במחקר 150 תלמידים. ממוצע הציונים שהתקבל: 1 7 = X 15. ציון מספר התלמידים ג. ד. השלם את השכיחויות החסרות בטבלה. חשב את הציון החציוני, השכיח ואמצע הטווח. חשב שונות וסטיית תקן להתפלגות הציונים. הוחלט לשנות את סקלת הציונים ולהכפיל את הציון ב- 10. למשל, ציון 8 יהפוך להיות 80. מה הממוצע ומהי השונות של הציונים בסקלה זו?

12 11 להלן התפלגות מספר שעות העבודה לשבוע של העובדים בחברת "סטאר". בחברה 00 עובדים. שכיחות שכיחות יחסית מספר שעות עבודה (פרופורציה) 15% % % % השלם את הטבלה. חשב את החציון, השכיח, והממוצע של התפלגות מס' שעות העבודה בחברה. מהי סטיית התקן של מס' שעות העבודה? ג. מה העשירון העליון של ההתפלגות? ד. איזה אחוז מהעובדים עובדים מעל 45 שעות בשבוע? ה. מה ציון התקן של רינה שעובדת 30 שעות בשבוע? ו. כיצד ישתנה החציון, הממוצע וסטיית התקן אם מספר שעות העבודה ז. המינימאלי אינו 10 אלא 15? הסבר..3

13 1 חברה סלולארית דגמה 00 אנשים.עבור כל אדם נבדק מס' המסרונים ששלח במשך חודש.להלן ההתפלגות שהתקבלה:.4 מספר המסרונים ומעלה מספר האנשים ג. ד. מה אחוז האנשים ששלחו פחות מ- 80 מסרונים בחודש? מה אחוז האנשים ששלחו בין 50 ל- 10 מסרונים? הוחלט להעניק מתנה עבור 1 4 מהלקוחות שמשתמשים במספר הרב ביותר של מסרונים בחודש. החל מאיזה כמות של מסרונים תחולק המתנה? ציינו איזה מדד ניתן לחשב ואיזה לא ניתן. אם ניתן חשב: 1. ממוצע. שכיח 3. חציון 4. שונות בחברה העוסקת בטלמרקטינג בדקו עבור כל עובד את מספר שנות הוותק שלו. התקבל שממוצע שנות הוותק הוא 4 שנים וסטיית התקן היא שנתיים..5 ג. האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתנה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשנה כאשר יתווספו שני עובדים עם וותק של 4 שנים להתפלגות? האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתנה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשנה כאשר יתווספו שני עובדים אשר אחד עם וותק של 0 שנים והשני עם וותק של 8 שנים להתפלגות? השכר בחברה מחושב על סמך הוותק. שכר בסיס של 5,000 ו- 500 תוספת על כל שנת וותק לחודש. מה השכר הממוצע ומהי סטיית התקן של השכר לחודש?

14 13 6. להלן מספר טענות, עבור כל טענה ציין אם היא נכונה או לא נכונה ונמקו. ג. ד. ה. ו. ז. ח. בסדרה שבה כל התצפיות שוות זו לזו השונות הינה 0. ציון התקן של החציון תמיד יהיה 0. ציון התקן של האחוזון ה- 70 בהתפלגות אסימטרית ימנית (חיובית) תמיד יהיה חיובית. אם נוסיף תצפיות לסדרה של תצפיות, הדבר בהכרח יגדיל את הממוצע של הסדרה. בסדרה החציון הינו 80. הוספו שתי תצפיות אחת 79 ואחת 100 לכן החציון יגדל. אם נוסיף את הערך 4 לכל התצפיות אז סטיית התקן לא תשתנה. אם נחלק את כל התצפיות בהתפלגות ב- אז השונות תקטן פי. אם נגדיל את ממוצע המשכורות של עובדים בחברה אז גם השונות תגדל.

15 14 ט. U תשובות סופיות לסטטיסטיקה תיאורית Uפרק א' הצגת נתונים Uשאלה 1 בדיד Uשאלה רציף ה. התפלגות אסימטרית שמאלית (שלילית) Uשאלה 3 התפלגות סימטרית Uפרק ב' מדדי מיקום מרכזי Uשאלה 1 החציון: 7 השכיח: 6 אמצע הטווח: 7 הממוצע: 6.9 Uשאלה 3 הממוצע: 1.7 החציון: 1.5 השכיח: 1 אמצע הטווח: הממוצע יגדל ויתר המדדים לא ישתנו. Uשאלה החציון: 175 השכיח: 175 אמצע הטווח: 17.5 הממוצע: Uשאלה 4 הממוצע: 55 החציון: 55 אמצע הטווח: 55 השכיח: 47.5 ו- 6.5 Uפרק ג' מדדי פיזור Uשאלה השונות: 69.3 סטיית תקן: 8.35 ב.טווח: 35 טווח בינרבעוני: ג. ממוצע יקטן, חציון יקטן, שונות תגדל וטווח לא ישתנה Uשאלה 4 תשובה: 10.8 Uשאלה 1 השונות:.19 סטיית תקן: 1.48 טווח: 6 Uשאלה 3 תשובה: 1.3

16 15 Uפרק ד' מדדי מיקום יחסי Uשאלה 1 לשון תשובה: 7 Uשאלה תשובה: 16.5 תשובה: 170 ג. תשובה: ד. תשובה: 3% ה. תשובה: 15% ו. תשובה: 55% Uפרק ה' ממוצע משוקלל ושונות מצורפת Uשאלה 1 תשובה: 76. תשובה: Uשאלה תשובה: 70 תשובה: Uפרק ו' טרנספורמציה לינארית Uשאלה הממוצע: 46 השונות: 30.5 Uשאלה 4 החציון: 1.75 השונות: הטווח: 0.35 העשירון התחתון: 1.65 Uשאלה 1 הממוצע: 315 סטיית התקן: 60 השכיח: 75 Uשאלה 3 החציון: 170 השונות: 69.3 הטווח: 35 העשירון התחתון: 157.5

17 16 Uפרק ז' שאלות מסכמות Uשאלה 1 מספר הקורסים. בדיד. התפלגות אסימטרית שמאלית (שלילית) ד. השכיח: 5 הטווח: 5 החציון: 4 ה. הממוצע קטן מהחציון Uשאלה 3 החציון: 35 השכיח: 35 הממוצע: 35 ג. סטיית תקן: 1.65 ד. תשובה: ה. תשובה: 5% ו. תשובה: ז. חציון לא ישתנה, ממוצע יגדל וסטיית התקן תקטן. Uשאלה 0 תלמידים קיבלו ציון 6 ו- 40 תלמידים קיבלו ציון 8. החציון: 7 השכיח: 8 אמצע הטווח: 7 ג. השונות:.516 סטיית התקן: ד. הממוצע: השונות: 51.6 Uשאלה 4 תשובה: 38% תשובה: 40% ג. תשובה: 150 ד. החציון: 100 Uשאלה 5 ממוצע לא ישתנה, סטיית התקן תקטן ממוצע לא ישתנה, סטיית התקן תגדל ג. הממוצע:, 7000 סטיית התקן: 1000 Uשאלה 6 נכון לא נכון ג. לא נכון ד. לא נכון ה. לא נכון ו. נכון ז. לא נכון ח. לא נכון

18 17 Uפרק שני מדדי קשר מדדי קשר למשתנים שמיים: U להלן תוצאות מחקר שבדק את הקשר בין מין לדעה מסוימת. לגבי כל נחקר נבדק המין שלו ודעתו האישית בדבר סוגיה מסוימת. הנחקרים היו צריכים לענות האם הם בעד, נמנעים או נגד הדעה שהוצגה להם. להלן התוצאות:.1 דעה מין בעד נמנע נגד גבר אישה חשב את מדד הקשר של למדא לניבוי דעה על סמך מין. חשב את מדד הקשר של למדא לניבוי מין על סמך דעה. חשב את מדד הקשר של קרמר. ג. בכל סעיף הסבר את משמעות התוצאה בהקשר של ממצאי המחקר. בעיר 4 שכונות. בכל שכונה נבדק המצב הכלכלי של כל משפחה. להלן טבלת השכיחות המשותפת שהתקבלה:. מצב כלכלי נמוך בינוני גבוה השכונה 40 A 70 B 80 C 40 D חשב את מדדי הקשר של למדא והסבר את הממצאים.

19 18 נלקחו 00 אנשים שמתוכם 60 הצהירו שהם עוסקים בפעילות גופנית סדירה. מתוך אלו שעוסקים בפעילות גופנית סדירה 50 נמצאו במצב בריאותי תקין. מתוך אלו שלא עוסקים בפעילות גופנית סדירה 90 נמצאו במצב בריאותי תקין. בנה טבלת שכיחות משותפת לנתונים שהוצגו בשאלה. האם קיים קשר בין פעילות גופנית למצב בריאותי? חשב לפי מדד הקשר של קרמר..3 האם ניתן לחשב את מדד הקשר של φ על נתוני שאלה 1? אם כן חשב! האם ניתן לחשב את מדד הקשר של φ על נתוני שאלה 3? אם כן חשב!.4 Uמדד הקשר של ספירמן: בתוכנית "רוקדים עם כוכבים" שני שופטים נתנו ציון ל- 7 הזוגות שהשתתפו בתוכנית: מספר זוג ציון שופט א' ציון שופט ב' האם קיים קשר בין שתי הערכות השופטים? נמק והסבר! משרד רצה לבחון האם קיים קשר בין מידת המוטיבציה של העובדים שלו לבין מספר החיסורים של העובדים בחודש עבודה. להלן התוצאות שהתקבלו:. מספר חיסורים מידת מוטיבציה גבוהה נמוכה בינונית נמוכה גבוהה האם קיים קשר בין רמת המוטיבציה של העובד ומספר החיסורים שלו? חשב באמצעות מדד הקשר המתאים והסבר. אם = 1 r הדבר אומר שערכי X תמיד שווים לערכי Y.האם הטענה נכונה? הסבר. S.3

20 19 ג. Uמדד הקשר של פירסון מדד הקשר הלנארי (כולל רגרסיה לנארית פשוטה): להלן נתונים לגבי חמישה תלמידים שנגשו למבחן אמצע סמסטר ולמבחן סוף סמסטר: ציון אמצע סמסטר ציון סוף סמסטר שרטט דיאגראמת פיזור לנתונים. מה ניתן להסיק מהדיאגרמה על הקשר בין ציון אמצע סמסטר לבין ציון סוף סמסטר? חשב את מדד הקשר של פירסון. האם התוצאה מתיישבת עם תשובתך לסעיף א'? 0 i= 1 i 0 i= 1 X i נסמן ב- X את ההכנסה של משפחה באלפי. נסמן ב- Y את ההוצאות של משפחה באלפי. נלקחו 0 משפחות והתקבלו התוצאות הבאות: Y = 00 = i= Y i = i= 1 i i 0 i 1 XY = 464 X i = 960 חשב את מדד הקשר הלינארי בין X ל- Y. מצא את קו הרגרסיה לניבוי ההוצאה של משפחה על סמך הכנסה שלה. משפחת כהן הכניסה, 15,000 מה ההוצאה הצפויה שלה? ג. נסמן ב- X את ההשכלה של אדם בשנות למוד. נסמן ב- Y את הכנסתו באלפי. במחקר התקבלו התוצאות הבאות: S = Y 5 Y = 8 S = X X =14 COV ( X, Y ) = 7.5 ג. ד. חשב את מדד הקשר של פירסון בין ההשכלה להכנסה. מה ההכנסה הצפויה לאדם שהשכלתו 1 שנים? מה ההשכלה הצפויה לאדם שהכנסתו? 10,000 איזה אחוז משונות ההכנסה מוסבר באמצעות ההשכלה של האדם?.3

21 0 ג. ד. ה. להלן רשימת טענות, לגבי כל טענה קבע נכון/לא נכון ונמק! מתווך דירות המיר מחירי דירות מדולר לשקל. נניח שדולר אחד הוא. 3.5 אם מתווך הדירות יחשב את מדד הקשר של פירסון בין מחיר הדירה בשקלים למחיר הדירה בדולרים הוא יקבל 1. S X = S = 1 Y X לסדרה של נתונים התקבל = 6 Y = יהיה 1. לכן מדד הקשר של פירסון אם שונות הטעויות שווה ל- 0 (השונות הלא מוסברת ( אז מקדם המתאם של פירסון יהיה 1. אם מקדם המתאם של פירסון בין שני משתנים הוא 1 אזי שונות הטעויות (השונות הלא מוסברת) תהיה 0. אם השונות המשותפת של X ושל Y הינה 0 אז בהכרח גם מקדם המתאם של פירסון יהיה 0..4

22 1 Uתשובות סופיות למדדי קשר Uפרק א' מדדי קשר למשתנים שמיים Uשאלה Uשאלה 4 לא ניתן 0.19 Uשאלה ג Uשאלה Uפרק ב' מדד הקשר של ספירמן Uשאלה Uשאלה Uשאלה 3 לא נכון Uפרק ג' מדד הקשר של פירסון מדד הקשר הלינארי Uשאלה 0.8 Y = 0.8X ג. 1.4 Uשאלה 4 נכון לא נכון ג. לא נכון ד. נכון ה. נכון Uשאלה Uשאלה אלפי ש"ח ג שנים ד. 56.5%

23 Uפרק שלישי - יסודות ההסתברות U בעיות בסיסיות בהסתברות 1. מהאותיות F E, ו- G יוצרים מילה בת אותיות לא בהכרח בת משמעות. הרכב את כל המילים האפשריות. רשום את המקרים למאורע: E. נמצאת האות -במילה A - B במילה האותיות שונות. ג. רשום את המקרים למאורע. A. מטילים זוג קוביות. רשום את מרחב המדגם של הניסוי. האם המרחב מדגם הוא אחיד? רשום את כל האפשרויות למאורעות הבאים: A- סכום התוצאות 7. B- מכפלת התוצאות בוחרים באקראי ספרה מבין הספרות 0-9. מה ההסברות שהספרה שנבחרה גדולה מ- 5? מה ההסתברות שהספרה שנבחרה היא לכל היותר 3? ג. מה ההסתברות שהספרה שנבחרה היא אי זוגית? 4. חשב את ההסתברויות למאורעות שהוגדרו בשאלה מספר. 5. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה שנספרו עבור כל משפחה בישוב מסוים: מספר משפחות מספר מקלטים נבחרה משפחה באקראי מהישו מה ההסתברות שאין מקלטים למשפחה? מה ההסתברות שיש מקלטים למשפחה? ג. מה ההסתברות שיש לפחות 3 מקלטים למשפחה?

24 3 Uפעולות בין מאורעות 1. חזור לנתונים של שאלה מספר 1 בפרק הקודם. רשום את כל האפשרויות לחיתוך A עם B. רשום את כל האפשרויות לאיחוד של A עם B.. חזור לנתונים של שאלה מספר בפרק הקודם. רשום את כל האפשרויות לחיתוך A עם B. רשום את כל האפשרויות לאיחוד של A עם B. 3. תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה. נגדיר את המאורעות הבאים: לעבור את המבחן בסטטיסטיקה. - A לעבור את המבחן בכלכלה. - B העזר בפעולות חיתוך, איחוד ומשלים בלבד כדי להגדיר את המאורעות הבאים וסמן בדיאגראמת וון את השטח המתאים : התלמיד עבר רק את המבחן בכלכלה. התלמיד עבר רק את המבחן בסטטיסטיקה. התלמיד עבר את שני המבחנים. ג. התלמיד עבר לפחות מבחן אחד. ד. התלמיד נכשל בשני המבחנים. ה. התלמיד נכשל בכלכלה. ו. 4. בהמשך לשאלה הקודמת נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 0.8 והסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו 0.9. הסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו חשב את הסיכויים למאורעות הבאים : לעבור לפחות את אחד המבחנים. לעבור רק את המבחן בכלכלה. ג. לעבור רק את המבחן בסטטיסטיקה. ד. להיכשל בשני המבחנים.

25 4 5. הסיכוי של מניה A לעלות הנו 0.5 ביום מסוים והסיכוי של מניה B לעלות ביום מסוים הנו 0.4. בסיכוי של 0.7 לפחות אחת מהמניות תעלה ביום מסוים. חשב את ההסתברויות הבאות לגבי שתי המניות הללו ביום מסוים : ששתי המניות תעלנה. שאף אחת מהמניות לא תעלנה. ג. שמניה A בלבד תעלה. 6.מטילים זוג קוביות אדומה ושחורה. נגדיר את המאורעות הבאים: בקובייה האדומה התקבלה התוצאה 4 ובשחורה. - A סכום התוצאות משתי הקוביות 6. - B מכפלת התוצאות בשתי הקוביות C האם A ו- B מאורעות זרים? האם המאורע B מכיל את המאורע A? האם A ו- C מאורעות זרים? ג. האם A ו- C מאורעות משלימים? ד. 7. עבור המאורעות A ו- B ידועות ההסתברויות הבאות: pa ( B) = 0.1 pb ( ) = 0.3 pa= ( ) 0.6 האם A ו- B מאורעות זרים? B) pa ( חשב את 8. מטבע הוטל פעמיים. נגדיר את המאורעות הבאים: A- קיבלנו עץ בהטלה הראשונה. B- קיבלנו לפחות עץ אחד בשתי ההטלות. איזו טענה נכונה? A ו- B מאורעות זרים. A ו- B מאורעות משלימים. ג. B מכיל את A. ד. A מכיל את B.

26 5 9. בהגרלה חולקו 100 כרטיסים על 3 מהם רשום חופשה ועל מהם רשום מחשב שאר הכרטיסים ריקים. אדם קיבל כרטיס אקראי. מה הסיכוי לזכות בחופשה או במחשב? האם המאורעות הללו זרים? מה ההסתברות לא לזכות בפרס? *10. באוכלוסיה מסוימת בדקו את סוגי חשבונות הבנק שבידי האנשים הבוגרים. הנתונים שהתקבלו היו: 45% מהאנשים מחזיקים חשבון בנק ב"בנק לאומי", 55% מחזיקים חשבון בנק ב"בנק הפועלים", 0% מחזיקים חשבון בנק ב"בנק דיסקונט", 15% מחזיקים חשבון בנק ב"בנק לאומי" וגם ב"בנק הפועלים", 10% מחזיקים חשבון בנק ב"בנק הפועלים" וגם ב"בנק דיסקונט" ו- 10% מחזיקים חשבון בנק ב"בנק לאומי" וגם ב"בנק דיסקונט". כמו כן, 5% מחזיקים חשבון בנק בכל שלושת הבנקים הנ"ל. מה אחוז מחזיקי חשבון בנק ב-"בנק לאומי" בלבד? מה אחוז מחזיקי חשבון בנק ב"בנק הפועלים" וחשבון בנק ב"בנק לאומי" אך לא ב"בנק דיסקונט"? ג. מה אחוז מחזיקי חשבון בנק אחד בלבד? ד. מה אחוז מחזיקי שני חשבונות בנק בלבד? ה. מה אחוז מחזיקי חשבון בנק אחד לפחות? ג. Uקומבינטוריקה Uרמה א' 1. חשבו את מספר האפשרויות לתהליכים הבאים: הטלת קובייה פעמים. מספר תלת ספרתי. בחירת בן ובת מכתה שיש בה שבעה בנים ועשר בנות. ג. חלוקת שני פרסים שונים לעשרה אנשים שונים כאשר אדם לא יכול לקבל יותר ד. מפרס אחד.

27 6.במסעדה מציעים ארוחה עסקית. בארוחה עסקית יש לבחור מנה ראשונה, מנה עיקרית ושתייה. האופציות למנה ראשונה הן: סלט ירקות, סלט אנטיפסטי ומרק היום. האופציות למנה עיקרית הן: סטייק אנטרקוט, חזה עוף בגריל, לזניה בשרית ולזניה צמחונית. האופציות לשתייה הן: קפה, תה ולימונדה. כמה ארוחות שונות ניתן להרכיב בעזרת התפריט הזה? אדם מזמין ארוחה אקראית. חשב את ההסתברויות הבאות: 1. בארוחה סלט ירקות, לזניה בשרית ולימונדה.. בארוחה סלט, לזניה ותה. 3. בוחרים באקראי מספר בין חמש ספרות. חשבו את ההסתברויות הבאות : המספר הוא זוגי. במספר כל הספרות שונות. במספר כל הספרות זהות. ג. במספר לפחות שתי ספרות שונות. ד. במספר לפחות שתי ספרות זהות. ה. המספר הוא פלינדרום (מספר הנקרא מימין ומשמאל באותה צורה). ו. חמישה אנשים אקראיים נכנסו למעלית בבנין בן 8 קומות. חשבו את ההסתברויות הבאות: כולם ירדו בקומה החמישית? כולם ירדו באותה קומה? ג. כולם ירדו בקומה אחרת? ד. ערן ודני ירדו בקומה השישית והיתר בשאר הקומות?.4 5. במפלגה חמישה עשר חברי כנסת. יש לבחור שלושה חברי כנסת לשלושה תפקידים שונים. בכמה דרכים ניתן לחלק את התפקידים אם: חבר כנסת יכול למלא יותר מתפקיד אחד. חבר כנסת לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד. 6. מטילים קובייה 4 פעמים. מה ההסתברות שכל התוצאות תהינה זהות? מה ההסתברות של התוצאות תהינה שונות? ג. מה ההסתברות שלפחות שתי תוצאות תהינה זהות? ד. מה ההסתברות שלפחות שתי תוצאות תהינה שונות?

28 7 7. בכמה דרכים: אפשר לסדר 4 ספרים שונים על מדף? בכמה דרכים אפשר לסדר חמישה חיילים בטור? 8. סידרו באקראי 10 דיסקים שונים על מדף שמתוכם שניים בשפה העברית. מה ההסתברות שהדיסקים בעברית יהיו צמודים זה לזה? מה ההסתברות שהדיסקים בעברית לא יהיו צמודים זה לזה? מה ההסתברות ששני הדיסקים בעברית יהיו כל אחד בקצה השני של המדף? ג בנים ו- 4 בנות התיישבו באקראי בשורה של בית קולנוע בו 8 מקומות. מה ההסתברות שהבנים יישבו זה ליד זה? מה ההסתברות שהבנות תשבנה זו ליד זו וגם הבנים יהיו זה ליד זה? ג. מה ההסתברות שהבנים יישבו במקומות הזוגיים? Uרמה ב' בכיתה 40 תלמידים. מעוניינים לבחור חמישה מהם לוועד כיתה. בכמה דרכים ניתן להרכיב את הוועד אם: בוועד 5 תפקידים שונים ותלמיד יכול למלא יותר מתפקיד אחד. בוועד 5 תפקידים שונים ותלמיד לא יכול למלא יותר מתפקיד אחד. ג. אין תפקידים שונים בוועד..1 בכיתה 30 תלמידים מתוכם 1 תלמידים ו- 18 תלמידות. יש לבחור למשלחת 4 תלמידים מהכיתה. התלמידים נבחרים באקראי. מה ההסתברות שהמשלחת תורכב רק מבנות? מה ההסתברות שבמשלחת תהיה רק בת אחת? ג. מה ההסתברות שבמשלחת תהיה לפחות בת אחת?. מעוניינים להרכיב קוד סודי. הקוד מורכב מ- ספרות שונות ו- 3 אותיות שונות באנגלית (6 אותיות אפשריות). כמה קודים שונים ניתן להרכיב? כמה קודים שונים ניתן להרכיב אם הקוד מתחיל בספרה ונגמר בספרה? ג. כמה קודים ניתן להרכיב אם הספרות חייבות להיות צמודות זו לזו? ד. בכמה קודים הספרות לא מופיעות ברצף?.3

29 8 בארונית 4 מגירות. ילד התבקש ע"י אימו לסדר 6 משחקים בארונית. הילד מכניס את המשחקים באקראי למגירות השונות. כל מגירה יכולה להכיל גם את כל המשחקים יחד. מה ההסתברות שהילד יכניס את כל המשחקים למגירה העליונה? מה ההסתברות שהילד יכניס את כל המשחקים לאותה מגירה? ג. מה ההסתברות שה"דומינו" יוכנס למגירה העליונה ויתר המשחקים לשאר המגירות. ד. מה ההסתברות שה"דומינו" לא יוכנס למגירה העליונה?.4 בעיר מסוימת מתמודדות למועצת העיר 4 מפלגות שונות: "הירוקים", "קדימה", "העבודה" ו"הליכוד". 6 אנשים אינם יודעים למי להצביע, ולכן בוחרים באקראי מפלגה כלשהי. מה ההסתברות שכל ה- 6 יבחרו באותה מפלגה? מה ההסתברות שמפלגת ה"ירוקים" לא תקבל קולות? ג. מה ההסתברות שמפלגת ה"ירוקים" תקבל בדיוק 3 קולות וכל מפלגה אחרת תקבל קול 1 בלבד? ד. מה ההסתברות שמפלגת "הירוקים תקבל קולות, מפלגת "העבודה" תקבל קולות ומפלגת "הליכוד" תקבל קולות?.5 ד. Uהסתברות מותנה ודיאגראמת עצים 1. תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה: נגדיר את המאורעות הבאים : A- לעבור את המבחן בסטטיסטיקה. B לעבור את המבחן בכלכלה. כמו כן נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 0.8 והסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו 0.9. הסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו חשבו את הסיכויים למאורעות הבאים : התלמיד עבר בסטטיסטיקה, מה ההסתברות שהוא עבר בכלכלה? התלמיד עבר בכלכלה, מה ההסתברות שהוא עבר בסטטיסטיקה? ג. התלמיד עבר בכלכלה, מה ההסתברות שהוא נכשל בסטטיסטיקה? ד. התלמיד נכשל בסטטיסטיקה מה ההסתברות שהוא נכשל בכלכלה? ה. התלמיד עבר לפחות מבחן אחד מה ההסתברות שהוא יעבור את שני המבחנים?

30 9. במדינה שתי חברות טלפון סלולארי "סופט" ו"בל". 30% מהתושבים הבוגרים רשומים אצל חברת "בל". 60% מהתושבים הבוגרים רשומים אצל חברת "סופט". ל- 15% מהתושבים הבוגרים אין טלפון סלולארי בכלל. איזה אחוז מהתושבים הבוגרים רשומים אצל שתי החברות? נבחר אדם שרשום אצל חברת "סופט", מה ההסתברות שהוא רשום גם אצל חברת "בל"? ג. אם אדם לא רשום אצל חברת "בל", מה ההסתברות שהוא כן רשום בחברת "סופט"? ד. אם אדם רשום אצל חברה אחת בלבד, מה ההסתברות שהוא רשום בחברת "סופט"? בחברה מסוימת 10% מוגדרים בכירים והיתר מוגדרים זוטרים. מבין הבכירים 70% 0% הם אקדמאים. נבחר אדם באקראי מאותה הם אקדמאים ומבן הזוטרים חברה. מה הסיכוי שהוא בכיר אקדמאי? מה הסיכוי שהוא זוטר לא אקדמאי? מה הסיכוי שהוא אקדמאי? ג בשקית סוכריות 4 סוכריות תות ו 3 לימון. מוציאים באקראי סוכרייה אם היא בטעם תות אוכלים אותה ומוציאם סוכרייה נוספת, אך אם היא בטעם לימון מחזירים אותה לשקית ומוציאים סוכרייה נוספת. מה ההסתברות שהסוכרייה הראשונה שהוצאה בטעם תות והשנייה בטעם לימון? מה ההסתברות שהסוכרייה השנייה בטעם לימון? 5. באוכלוסיה מסוימת 30% הם ילדים, 50% בוגרים והיתר קשישים. לפי נתוני משרד הבריאות הסיכוי שילד יחלה בשפעת במשך החורף הוא 80%, הסיכוי שמבוגר יחלה בשפעת במשך החורף הוא 40% והסיכוי שקשיש יחלה בשפעת במשך החורף הוא 70%. איזה אחוז מהאוכלוסייה הינו קשישים שלא יחלו בשפעת במשך החורף? מה אחוז האנשים שיחלו בשפעת במשך החורף? ג. נבחר אדם שחלה במשך החורף בשפעת, מה ההסתברות שהוא קשיש? ד. נבחר ילד, מה ההסתברות שהוא לא יחלה בשפעת במשך החורף?

31 30 6. בכד א' 5 כדורים כחולים ו- 5 כדורים אדומים. בכד ב' 6 כדורים כחולים ו- 4 כדורים אדומים. בוחרים באקראי כד, מוציאים ממנו כדור ומבלי להחזירו מוציאים כדור נוסף. מה ההסתברות ששני הכדורים שיוצאו יהיו בצבעים שונים? אם הכדורים שהוצאו הם בצבעים שונים, מה ההסתברות שהכדור השני שהוצא יהיה בצבע אדום? ה. Uתלות בין מאורעות 1. נתון: pa ( ) = 0. PB ( ) = 0.5 PA ( B) = 0.6 האם המאורעות הללו בלתי תלויים?. חוקר מבצע שני ניסויים בלתי תלויים הסיכוי להצליח בניסוי הראשון הנו 0.7 והסיכוי להצליח בניסוי השני הוא 0.4. מה הסיכוי להצליח בשני הניסויים יחדו? מה הסיכוי שניכשל בשני הניסויים? 3. מוצר צריך לעבור בהצלחה ארבע בדיקות בלתי תלויות לפני שיווקו, אחרת הוא נפסל ולא יוצא לשוק. הסיכוי לעבור בהצלחה כל אחת מהבדיקות הוא 0.8. בכל מקרה מבוצעות כל 4 הבדיקות. מה הסיכוי שהמוצר יפסל? מה ההסתברות שהמוצר יעבור בהצלחה לפחות בדיקה אחת? ו. Uשאלות מסכמות 1. 70% מהנבחנים בסטטיסטיקה עוברים את מועד א'. כל מי שלא עובר את מועד א' ניגש לעשות מועד ב', מתוכם 80% עוברים אותו. מבין אלה שנכשלים בשני המועדים 50% נרשמים לקורס מחדש, והיתר פורשים מהתואר. מה הסיכוי שסטודנט אקראי עבר את הקורס? אם סטודנט אקראי עבר הקורס, מה הסיכוי שעבר במועד ב'? ג. מה אחוז הסטודנטים שפורשים מהתואר? ד. נבחרו סטודנטים אקראיים רונית וינאי, מה ההסתברות שרונית עברה במועד א' ושינאי עבר במועד ב'?

32 31. באוכלוסיה מסוימת 40% הם גברים והיתר הן נשים. מבין הגברים 10% מובטלים. בסך הכול 13% מהאוכלוסייה מובטלת. מה אחוז האבטלה בקרב הנשים? נבחר אדם מובטל, מה ההסתברות שזו אישה? ג. נגדיר את המאורעות הבאים: A- נבחר אדם מובטל B- נבחר גבר האם המאורעות הללו זרים? והאם הם בלתי תלויים? 3. ערן מעוניין למכור את רכבו, הוא מפרסם מודעה באינטרנט ומודעה בעיתון. מבין אלה שמעוניינים לרכוש רכב משומש 30% יראו את המודעה באינטרנט, 50% יראו את המודעה בעיתון ו- 7% יראו את המודעה בלפחות אחת מהמדיות. מה אחוז האנשים מאלה שמעוניינים לרכוש רכב משומש יראו את המודעות? אם אדם ראה את המודעה באינטרנט, מה ההסתברות שהוא לא ראה את המודעה בעיתון? ג. האם המאורעות: "לראות את המודעה באינטרנט" ו"לראות את המודעה באינטרנט" בלתי תלויים? ד. אדם שראה את המודעה באינטרנט בלבד יתקשר לערן בהסתברות של 0.7, אם הוא ראה את המודעה בעיתון בלבד הוא יתקשר לערן בהסתברות של 0.6. ואם הוא ראה את שתי המודעות הוא יתקשר לערן בהסתברות של מה ההסתברות שאדם המעוניין לרכוש רכב משומש יתקשר לערן?. אדם המעוניין לרכוש רכב משומש התקשר לערן. מה ההסתברות שהוא ראה את שתי המודעות?

33 3 ז. Uתשובות סופיות ליסודות הסתברות: Uפרק א' - בעיות בסיסיות בהסתברות Uשאלה 4 הסיכוי ל- A : הסיכוי ל- B : Uשאלה 3 תשובה: 0.4 תשובה: 0.4 ג. תשובה: 0.5 Uשאלה 5 תשובה: 0. תשובה: 0.78 ג. תשובה: 0.3 Uפרק ב' - פעולות בין מאורעות Uשאלה 4 תשובה: 0.95 תשובה: 0.05 ג. תשובה: 0.15 ד. תשובה: 0.05 Uשאלה 6 לא כן ג. כן ד. לא Uשאלה 8 תשובה: ג' Uשאלה 5 תשובה: 0. תשובה: 0.3 ג. תשובה: 0.3 Uשאלה 7 כן תשובה: 0.3 Uשאלה 9 תשובה: 0.05 תשובה: 0.95 U *שאלה 10 תשובה: 5% תשובה: 10% ג. תשובה: 65% ד. תשובה: 0% ה. תשובה: 90%

34 33 Uפרק ג' - קומבינטוריקה Uרמה א' תשובה: 3,375 תשובה:,730 Uשאלה 1 תשובה: 36 תשובה: 900 ג. תשובה: 70 ד. תשובה: 90 Uשאלה 3 תשובה: 0.5 תשובה: ג. תשובה: ד. תשובה: ה. תשובה: ו. תשובה: 0.01 Uשאלה 5 Uשאלה 7 תשובה: 4 תשובה: 10 Uשאלה 9 Uשאלה 36 1/36.1 1/9. Uשאלה ג ד Uשאלה 6 תשובה: 1/16 תשובה: 5/18 ג. תשובה: 13/18 ד. תשובה: 15/16 Uשאלה 8 תשובה: 0. תשובה: 0.8 ג. תשובה: 0.0 תשובה: תשובה: תשובה: ג.

35 34 Uרמה ב' Uשאלה 1 תשובה: 10,400,000 תשובה: 78,960,960 תשובה: 658,008 ג. Uשאלה 3 תשובה: 14,040,000 תשובה: 1,404,000 תשובה: 5,616,000 ג. תשובה: 8,44,000 ד. Uשאלה תשובה: תשובה: תשובה: ג. Uשאלה 4 תשובה: תשובה: תשובה: ג. תשובה: ד. Uשאלה 5 תשובה: תשובה: תשובה: תשובה: ג. ד. Uפרק ד' - הסתברות מותנה ודיאגראמת עצים Uשאלה 1 תשובה: תשובה: תשובה: ג. תשובה: 0.5 ד. תשובה: ה. Uשאלה 3 תשובה: 0.07 תשובה: 0.7 תשובה: 0.5 ג. Uשאלה 5 תשובה: 6% תשובה: 0.58 תשובה: 0.41 ג. תשובה: 0. ד. Uשאלה תשובה: 5% תשובה: ג. תשובה: ד. תשובה: Uשאלה 4 תשובה: /7 תשובה: 3/49 Uשאלה 6 תשובה: תשובה: 0.5

36 3U 35 Uפרק ה' - תלות בין מאורעות Uשאלה 1 כן Uשאלה תשובה: 0.8 תשובה: 0.18 Uשאלה תשובה: תשובה: Uפרק ו'- שאלות מסכמות Uשאלה 1 תשובה: 0.94 תשובה: 0.55 תשובה: 0.03 ג. תשובה: ד. Uשאלה תשובה: 15% תשובה: 0.69 ג. תשובה: לא זרים ותלויים Uשאלה 3 תשובה: 8% תשובה: תלויים.1 תשובה: תשובה: 0.15 ג. ד.

37 36 Uפרק רביעי - המשתנה המיקרי הבדיד א U פונקצית ההסתברות: ברולטה הסיכוי לזכות ב- 30 הוא חצי וב- 10 רבע כך גם ב-. 0 נגדיר את X להיות סכום הזכייה במשחק בודד. בנה את פונקצית ההסתברות של.X.1 תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה: נגדיר את המאורעות הבאים : A- לעבור את המבחן בסטטיסטיקה. B- לעבור את המבחן בכלכלה. כמו כן נתון שהסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 0.8 והסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו 0.9. הסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו יהי X מספר המבחנים שהסטודנט עבר. בנה את פונקצית ההסתברות של X.. הסיכוי לזכות במשחק מסוים הינו 0.3. אדם משחק את המשחק עד אשר הוא מנצח אך בכל מקרה הוא לא משחק את המשחק יותר מ 4 פעמים. נגדיר את X להיות מספר הפעמים שהוא שיחק את המשחק. בנה את פונקצית ההסתברות של X..3 חברה לניהול פרויקטים מנהלת 3 פרויקטים במקביל. הסיכוי שפרויקט א' יצליח הינו 0.7. הסיכוי שפרויקט ב' יצליח הינו 0.8. הסיכוי שפרויקט ג' יצליח הינו 0.9. נתון שהצלחת כל פרויקט בלתי תלויה זו בזו. נגדיר את x להיות מספר הפרויקטים שיצליחו. בנה את פונקצית ההסתברות של X..4 Uתוחלת, שונות וסטיית תקן: 1. חשב את התוחלת, השונות וסטיית התקן של שאלה מספר 1 בפרק א'.. חשב את התוחלת, השונות וסטיית התקן של שאלה מספר בפרק א'. 3. חשב את התוחלת, השונות וסטיית התקן של שאלה מספר 3 בפרק א'. 4. חשב את התוחלת, השונות וסטיית התקן של שאלה מספר 4 בפרק א'.

38 37 5. נתונה פונקצית ההסתברות של המשתנה המקרי X: x P(x) כמו כן נתון ש: EX ( ) = 4. מצא את ההסתברויות החסרות בטבלה. חשב את.V( X) ג. U טרנספורמציה לינארית (תכונות התוחלת, השונות וסטיית התקן): חזור לשאלה מספר 1 מפרק ב'. נניח שעלות השתתפות ברולטה היא 15 וסכום הזכייה הינו התוצאה שיצאה ברולטה. חשב את התוחלת והשונות של הרווח במשחק..1 חזור לשאלה מספר מפרק ב'. נניח שכל קורס שסטודנט מסיים מזכה אותו ב- 4 נקודות אקדמאיות. חשב את התוחלת והשונות של סך הנקודות שצבר סטודנט שניגש ל- המבחנים.. חזור לשאלה מספר 3 מפרק ב'. נניח שזמן ההכנה לתהליך שמסופר בשאלה הינו 10 דקות, וכל משחק אורך דקות. מה התוחלת ומהי השונות של זמן הפעילות הכוללת שעובר האדם בתהליך שתואר בשאלה?.3 חזור לשאלה מספר 4 מפרק ב'. נניח שעלות כל פרויקט הינה 5 אלף. כל פרויקט שיצליח יכניס לחברה פדיון של 10 אלף. מה התוחלת ומה השונות של רווח החברה מניהול הפרויקטים?.4 תוחלת של משתנה מקרי הינה 10 וסטית התקן. 5 הוחלט להוסיף למשתנה ולאחר מכן לעלות אותו ב- 10%. מהי התוחלת ומהי סטיית התקן לאחר השינוי?.5 X הינו משתנה מקרי. כמו כן נתון ש-.V( X ) = ו- 3 EX ( ) = 4. Y = 7 X הינו משתנה מקרי חדש עבורו Y חשב את:.V( Y) ו- EY ( ).6

39 38 ד. Uתוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים (המשך תכונות התוחלת, השונות וסטיית התקן): הרווח ממניה א' הוא עם תוחלת של 5 ושונות 10. הרווח ממניה ב' הוא עם תוחלת של 4 ושונות 5. ידוע שההשקעות של שתי המניות בלתי תלויות זו בזו. מה התוחלת והשונות של הרווח הכולל מהשקעה בשתי המניות יחד?.1 בהמשך לשאלה 3 מפרק א' ומפרק ב' מסופר שהאדם חוזר על התהליך שסופר כל 7 ימות השבוע. מה התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר המשחקים הכולל שישחק בשבוע? Y היא 3. סטיית התקן של X משתנים בלתי תלויים, סטיית התקן של הם ו- Y X היא 4. מהי סטיית התקן של?X+Y..3 ה. Uהתפלגויות מיוחדות: Uהתפלגות בינומית במדינה 10% מהאוכלוסייה מובטלת. נבחרו 5 אנשים באקראי מאותה אוכלוסיה. נגדיר את Xלהיות מספר המובטלים שהתקבלו במדגם. מהי ההתפלגות של X? מה ההסתברות שיהיה בדיוק מובטל אחד? ג. מה ההסתברות שכולם יעבדו במדגם? מה ההסתברות ששלושה יעבדו במדגם? ד. מה ההסתברות שלפחות אחד יהיה מובטל? ה. מה תוחלת ומהי השונות של מספר המובטלים במדגם? ו..1 בבית הימורים יש שורה של 6 מכונות מזל מאותו סוג. משחק במכונת מזל כזו עולה. 5 ההסתברות לזכות ב-, 0 בכל אחת מהמכונות היא 0.1 וההסתברות להפסיד את ההשקעה היא 0.9 בכל מכונה. מהמר נכנס לבית ההימורים ומכניס 5 לכל אחת מ- 6 המכונות. מה ההסתברות שיפסיד בכל המכונות? מה ההסתברות שיזכה בדיוק בשתי מכונות? ג. מה ההסתברות שיזכה ביותר כסף מה- 30 שהשקיע? ד. מהן התוחלת וסטיית התקן של הרווח נטו של המהמר (הזכיות בניכוי ההשקעה)?.

40 39 3. במדינה מסוימת התפלגות ההשכלה בקרב האוכלוסייה מעל גיל 30 היא כזו: השכלה נמוכה תיכונית תואר I תואר II ומעלה פרופורציה 0.1 נבחרו 0 אנשים אקראיים מעל גיל 30 מהמדינה הנ"ל. מה ההסתברות ש- 5 מהם אקדמאים? מה התוחלת של מס' בעלי ההשכלה הנמוכה? במכללה מסוימת 0% מהסטודנטים גרים בת" מבין הסטודנטים שגרים בת"א 30% מגיעים ברכבם ומבין הסטודנטים שלא גרים בת"א 50% מגיעים ברכבם למכללה. השומר בשער המכללה בודק לכל סטודנט את תיקו בהיכנסו למכללה. מה ההסתברות שבקרב 5 סטודנטים שנבדקו ע"י השומר רק 1 מתוכם הגיע למכללה ברכבו. בהמשך לסעיף הקודם מה ההסתברות שרוב הסטודנטים בקרב ה- 5 הגיעו למכללה ברכבם..4 5% מקו היצור פגום. המוצרים נארזים בתוך קופסת קרטון. בכל קופסא 10 מוצרים שונים. הקופסאות נארזות בתוך מכולה. בכל מכולה 0 קופסאות. מה ההסתברות שבקופסא אקראית לפחות מוצר פגום אחד? מה התוחלת ומהי סטיית התקן של מספר הקופסאות במכולה בהן לפחות מוצר פגום אחד?.5 Uהתפלגות גיאומטרית צילום שמבוצע במכון הרנטגן X-RAY" " יתקבל תקין בהסתברות של 0.9. אדם נכנס למכון כדי להצטלם. הוא ייצא מהמכון רק כאשר יש בידו תצלום תקין. מה ההסתברות שיצטלם בסך הכול 3 פעמים? מה ההסתברות שהצטלם יותר מ- 4 פעמים? ג. מה התוחלת ומה השונות של מספר הצילומים שייבצע? ד. כל צילום עולה למכון. 50 אדם משלם על צילום תקין. 100 מה התוחלת ומה השונות של רווח המכון מאדם שהגיע להצטלם?.1

41 40 מטילים מטבע עד אשר מתקבלת התוצאה "עץ". מה ההסתברות להטיל את המטבע לכל היותר 10 פעמים? מה ההסתברות להטיל את המטבע לכל היותר 5 פעמים אם ידוע שהמטבע הוטל לפחות 3 פעמים? ג. אם ידוע שבשתי ההטלות הראשונות התקבלה התוצאה "פלי" מה ההסתברות שהאדם הטיל את המטבע 7 פעמים? ד. מה תוחלת מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה "פלי"?. 30% מהמכוניות בארץ הן בצבע לבן. בכל יום נכנסות לחניון 10 מכוניות אקראיות. מה ההסתברות שביום מסוים בדיוק מחצית מהמכוניות בחניון יהיו לבנות? מה תוחלת מספר הימים שיעברו מהיום עד שלראשונה מחצית מהמכוניות בחניון יהיו לבנות?.3 Uהתפלגות פואסונית 1. במוקד טלפוני מתקבלות פניות בקצב של 5 פניות לדקה. מספר הפניות בדקה מתפלג פואסונית. מה ההסתברות שבדקה תתקבל פניה 1? מה ההסתברות שבדקה תתקבל לפחות פניה 1? ג. מה ההסתברות שבדקה יתקבלו לכל היותר פניות? ד. מה שונות מספר הפניות בדקה?. מספר הטעויות לעמוד בעיתון מתפלג פואסונית עם ממוצע של 4 טעויות לעמוד. בחלק מסוים של עיתון ישנם 5 עמודים. מה ההסתברות שבחלק זה בדיוק 18 טעויות? אם בדף הראשון אין טעויות, מה ההסתברות שבסך הכול בכול החלק ישנן 15 טעויות? ג. אם בחלק של העיתון נמצאו בסך הכול 18 טעויות, מה ההסתברות ש- 5 מהן בדף הראשון? 3. מספר תאונות הדרכים הקטלניות במדינת ישראל מתפלג פואסונית עם סטיית תקן של תאונות לשבוע. מה תוחלת מספר התאונות בשבוע? מהי ההסתברות שבחודש (הנח שבחודש יש 4 שבועות) יהיה בדיוק שבוע אחד בו יהיו 3 תאונות דרכים קטלניות?

42 41 ו. Uשאלות מסכמות: 1. נתון ש:?T 1 X B(4, ) 1 Y B(10, ) 4 ג. חשב את התוחלת וסטיית התקן של X. W. חשב את התוחלת וסטיית התקן של, W = X 4, T = X + Y חשב את התוחלת של T. האם ניתן לדעת מה סטיית התקן של.ערן משחק בקזינו בשתי מכונות הימורים. משחק אחד בכל מכונה (במכונה א' ובמכונה ב'). הסיכוי שלו לנצח במשחק במכונה א' הינו 0.08 והסיכוי שלו לנצח רק במכונה א' הינו הסיכוי שלו להפסיד בשני המשחקים ביום מסוים הוא מה הסיכוי שערן ניצח בשני המשחקים? מה התוחלת ומה השונות של מספר הניצחונות של ערן? ג. אם ערן נכנס לקזינו 5 פעמים ובכל פעם שיחק את שני המשחקים, מה ההסתברות שערן ינצח בשני המשחקים בדיוק פעם אחת מתוך חמשת הפעמים? 3. לאדם צרור מפתחות. בצרור 5 מפתחות אשר רק אחד מתאים לדלת של ביתו. האדם מנסה את המפתחות באופן מקרי. לאחר שניסה מפתח מסוים הוא מוציא אותו מהצרור כדי לא להשתמש בו שו נסמן ב- X את מספר הניסיונות עד שהדלת תפתח. בנה את פונקצית ההסתברות של X. חשב את התוחלת והשונות של X. ג. כל ניסיון לפתוח הדלת אורך חצי דקה. מה התוחלת ומה השונות של הזמן הכולל לפתיחת הדלת? ג. 4.מספר התקלות בשידור "בערוץ 1" מתפלג פואסונית בקצב של 6 תקלות ביום. מה ההסתברות שביום מסוים הייתה לפחות תקלה אחת? מה ההסתברות שבשבוע (7 ימי שידור) יהיו בדיוק 6 ימים בהם לפחות תקלה אחת? מה תוחלת מספר הימים שיעברו מהיום ועד היום הראשון בו לפחות תהיה תקלה אחת?

43 4 ז. Uתשובות סופיות למשתנה המקרי הבדיד Uפרק א' פונקציות ההסתברות Uשאלה Uשאלה x x P(x) P(x) Uשאלה 4 Uשאלה x P(x) x P(x) Uפרק ב' תוחלת, שונות וסטיית תקן Uשאלה תוחלת: 1.7 שונות: 0.31 סטיית תקן: Uשאלה 4 תוחלת:.4 שונות: 0.46 סטיית תקן: Uשאלה 1 תוחלת:.5 שונות: סטיית תקן: 8.9 Uשאלה 3 תוחלת:.533 שונות: סטיית תקן: 1.39 Uשאלה x P(x) תשובה: 5.16 Uפרק ג' טרנספורמציה לינארית (תכונות תוחלת, שונות וסטיית תקן) Uשאלה תוחלת: 6.8 שונות: 4.96 Uשאלה 4 תוחלת: 9 שונות: 46 Uשאלה 6 Uשאלה 1 תוחלת: 7.5 שונות: Uשאלה 3 תוחלת: שונות: 6.14 Uשאלה 5

44 43 תוחלת: 3 שונות: 3 תוחלת: 13. סטיית תקן: 5.5 Uפרק ד' תוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים (המשך תכונות תוחלת, שונות וסטיית תקן) Uשאלה תוחלת: סטיית תקן: 3.8 Uשאלה 1 תוחלת: 9 שונות: 15 Uשאלה 3 תשובה: 5 Uפרק ה' התפלגויות מיוחדות Uהתפלגות בינומית Uשאלה 1 ג. ד. ה. ו. X B(5, 0.1) תשובה: תשובה: תשובה: תשובה: תוחלת: 0.5 שונות: 0.45 Uשאלה 3 Uשאלה תשובה: תשובה: ג. תשובה: ד. תוחלת: 18- סטיית תקן: Uשאלה 4 תשובה: תשובה: תשובה: תשובה: Uשאלה 5 תשובה: תוחלת: 8.05 סטיית תקן:.193 Uהתפלגות גיאומטרית Uשאלה 1 תשובה: תשובה: ג. תוחלת: Uשאלה תשובה: תשובה: ג. תשובה:

45 44 ד. תשובה: 1 שונות: תוחלת: 44.4 שונות: ד. Uשאלה 3 תשובה: תשובה: 9.7 Uהתפלגות פואסונית Uשאלה 1 תשובה: תשובה: תשובה: ג. תשובה: 5 ד. Uשאלה תשובה: תשובה: ג. תשובה: Uשאלה 3 תשובה: 4 תשובה: Uפרק ו' שאלות מסכמות Uשאלה 1 תוחלת: סטיית תקן: 1 תוחלת: 0 סטיית תקן: ג. תוחלת: 4.5 סטיית תקן: לא ניתן Uשאלה תשובה: 0.01 תוחלת: 0.13 שונות: ג. תשובה: Uשאלה 4 Uשאלה 3 תשובה: x P(x) תשובה: תשובה: תוחלת: 3 שונות: ג. תוחלת: 1.5 שונות: 1/ ג.

46 45 Uפרק חמישי - המשתנה המקרי הרציף U פונקציית הצפיפות וההתפלגות המצטברת של המשתנה הרציף 1. נתון משתנה מקרי רציף X שפונקצית הצפיפות שלו היא: ידוע ש- = 1/4 1) < X.P(0 < מצאו במפורש את פונקצית הצפיפות של X. מצאו את החציון של X. ג. מה הסיכוי ש- X קטן מ-? 0.5 f ( x) cx 0 x b = תרחא 0. נתונה פונקצית צפיפות של משתנה מקרי Y מצאו את c. מצאו את פונקצית ההתפלגות המצטברת של. Y ג. חשבו את ההסתברויות: 7.0) = P(Y.P(Y>4) P(7.5 Y 15.5), P(Y 3.0), ד. מצאו את העשירון התחתון y 0.1, הרבעון התחתון y 0.5 והחציון של Y. הסיקו מהו העשירון. y 0.9 עליון 3. נתונה פונקצית צפיפות של משתנה מקרי : X מצאו ערך c שעבורו תתקבל פונקצית צפיפות. מצאו את פונקצית ההתפלגות המצטברת. ג. חשבו את ההסתברויות הבאות: 4) P(X P(1.0 < X 5.0), P(X.0),

47 46 U התפלגויות מיוחדות: Uהתפלגות נורמלית 1. הגובה של אנשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 170 ס"מ וסטית תקן של 10 ס"מ. מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל ס"מ.? מה אחוז האנשים שגובהם מעל 190 ס"מ? ג. מה אחוז האנשים שגובהם בדיוק ס"מ? ד. מה אחוז האנשים שגובהם מתחת ל- 170 ס"מ? ה. מה אחוז האנשים שגובהם לכל היותר 170 ס"מ?. המשקל של אנשים באוכלוסיה מסוימת מתפלג נורמלית עם ממוצע של 60 ק"ג וסטיית תקן של 8 ק"ג. מה אחוז האנשים שמשקלם נמוך מ- 55 ק"ג? מהי פרופורציית האנשים באוכלוסייה שמשקלם לפחות 50 ק"ג? ג. מהי השכיחות היחסית של האנשים באוכלוסייה שמשקלם בין 60 ל- 70 ק"ג? ד. לאיזה חלק מהאוכלוסייה משקל הסוטה מהמשקל הממוצע בלא יותר מ- 4 ק"ג? ה. מה אחוז האנשים באוכלוסיה הזו ששוקלים מתחת ל 140 ק"ג? 3. ציוני מבחן אינטיליגנציה מתפלג נורמלית עם ממוצע 100 ושונות. 5 מה העשירון העליון של הציונים במבחן האינטיליגנציה? מה העשירון התחתון של ההתפלגות? ג. מהו הציון ש- 0% מהנבחנים מקבלים מעליו? ד. מהו האחוזון ה- 0? ה. מה הרבעון התחתון? 4. אורך חים של מכשיר מתפלג נורמלית. ידוע שמחצית מהמכשירים חים פחות מ- 500 שעות, כמו כן ידוע ש- 67% מהמכשירים חים פחות מ- 544 שעות. מהו ממוצע אורך חיי מכשיר? מהי סטית בתקן של אורך חיי מכשיר? ג. מה הסיכוי שמכשיר אקראי יחיה פחות מ- 460 שעות? ד. מהו המאיון העליון של אורח חיי מכשיר? ה. 1% מהמכשירים בעלי אורך החים הקצר ביותר נשלח למעבדה לבדיקה מעמיקה. מהו אורך החים המקסימלי לשליחת מכשיר למעבדה?

48 P0F 0T P P P0T הזמן שלוקח לאדם להגיע לעבודתו מתפלג נורמלית עם ממוצע של 40 דקות וסטית תקן של 5 דקות. מה ההסתברות שמשך הנסיעה של האדם לעבודתו יהיה לפחות שלושת רבעי השעה? אדם יצא לעבודתו בשעה 08:10 מביתו. הוא צריך להגיע לעבודתו בשעה. 09:00 מה הסיכוי שיאחר לעבודתו? ג. אם ידוע שזמן נסיעתו לעבודה היה יותר משלושת רבעי השעה. מה ההסתברות שזמן הנסיעה הכולל יהיה פחות מ- 50 דקות? ד. מה הסיכוי שבשבוע (חמישה ימי עבודה ( בדיוק פעם אחת יהיה זמן הנסיעה לפחות שלושת רבעי השעה? 1.6 ההוצאה החודשית לבית אב בעיר "טרירה" מתפלגת נורמלית עם ממוצע של 000 דולר וסטית תקן של 300 דולר. בחרו באקראי 5 בתי אב. ההסתברות שלפחות אחד מהם מוציא בחודש מעל ל- T דולר היא מה ערכו של T. מה הסיכוי שההוצאה החודשית של בית אב בעיר תהיה לפחות סטיית תקן אחת מעל T? ג. אם זוז שווה ל, $ מצא את סטית התקן של ההוצאה החודשית לבית אב בזוזים. 1 השאלה רלבנטית רק למי שכבר למד הסתברות והתפלגות בינומית.

49 48 Uהתפלגות אחידה 1. משך (בדקות) הפסקה בשיעור, X, מתפלג (16,13)U. מהי התוחלת ומהי סטית התקן של משך ההפסקה? מהי ההסתברות שהפסקה תמשך יותר מ- 15 דקות? ג. מהי ההסתברות שמשך ההפסקה יסטה מהתוחלת בפחות מדקה?. רכבת מגיעה לתחנה בשעות היום כל עשר דקות. אדם הגיע לתחנה בזמן אקראי. הסבר כיצד מתפלג זמן ההמתנה לרכבת? אם זמן ההמתנה לרכבת ארך יותר מ- 5 דקות, מהי ההסתברות שבסך הכל האדם ימתין לרכבת פחות מ- 8 דקות? ג. מה תוחלת מספר הימים שיעברו עד הפעם הראשונה שהאדם ימתין לרכבת יותר מ- 9 דקות? 3. מתקן המילוי במפעל ממלא בקבוקים באופן אחיד לפי פונקצית הצפיפות (סמ"ק: x 11.5 f(x) = תרחא 0 מה אחוז הבקבוקים שתכולתם מעל 10.4 סמ"ק? דרישות התקן הן לדחות כל בקבוק עם תכולה השונה מן התכולה המוצהרת ) 11 סמ"ק) ביותר מחמישית סמ"ק. מהו אחוז הבקבוקים שלא יעמדו בתקן? (בקבוק כזה יושמד). ג. בקבוק תקני יימכר ב- 8 שקלים. עלות הייצור לבקבוק היא שקל. מה הרווח הממוצע במכירת בקבוק?

50 49 Uהתפלגות מעריכית (אקספוננציאלית) 1. הזמן שעובר בכביש מסוים עד להתרחשות תאונה מתפלג מעריכית עם תוחלת של 4 שעות. מהי סטית התקן של הזמן עד להתרחשות תאונה? מה ההסתברות שהתאונה הבאה תתרחש תוך פחות מיממה? ג. מהי ההסתברות שהתאונה הבאה תתרחש תוך לפחות יומיים?. משך הזמן X (בדקות) שסטודנטים יושבים ליד מסוף מחשב מתפלג מעריכית עם תוחלת של 30 דקות. מה הסיכוי שעבודת סטודנט על המחשב תארך פחות מרבע שעה? מה הסיכוי שעבודת סטודנט על המחשב תארך בין רבע שעה לחצי שעה? ג. אם סטודנט עובד ליד המסוף כבר יותר מ- 10 דקות, מה ההסתברות שמשך כל עבודתו ליד המסוף יעלה על 30 דקות? 3. בממוצע מגיעים לחדר מיון 4 חולים בשעה בזרם פואסוני. שולה המזכירה הגיעה לחדר המיון. מה ההסתברות שזמן ההמתנה שלה לחולה הבא יהיה יותר מ- 0 דקות? אם שולה המתינה יותר מרבע שעה לחולה הבא. מה ההסתברות שתמתין בסך הכל יותר מחצי שעה? ג. מה ההסתברות שבין החולה הראשון לשני יש להמתין יותר מרבע שעה ובין החולה השני לשלישי יש להמתין פחות מרבע שעה?

51 50 ג. Uתשובות סופיות למשתנה המקרי הרציף Uפרק א' פונקציות צפיפות והתפלגות מצטברת Uשאלה 0. ג. 0.3, 0.15, 0.18, 0 ד. העשירון התחתון :.4 הרבעון התחתון : 3.54 החציון : 5 העשירון העליון : 7.76 Uשאלה 1 c=0.5 b= 1.41 ג Uשאלה 3 10 ג. 0.5, 1, 0.35 Uפרק ב' התפלגויות מיוחדות Uהתפלגות נורמלית Uשאלה Uשאלה % 89.5% 89.44%.8% 39.44% ג. 0 ג % 50% 50% ד. ה. ד. ה. Uשאלה 4 Uשאלה ג. ג ד. ד ה. ה. Uשאלה 6 Uשאלה ג. ג ד.

52 51 X U(0,10) Uשאלה ג. Uהתפלגות אחידה Uשאלה 1 תוחלת: 14.5 שונות: /3 /3 Uשאלה 3 68% 68% 0.56 ג. Uהתפלגות מעריכית Uשאלה Uשאלה שעות ג ג. Uשאלה ג. 0.33

53 5 Uפרק שישי - המשתנה הדו מימדי הבדיד 1. תלמיד ניגש בסמסטר לשני מבחנים מבחן בכלכלה ומבחן בסטטיסטיקה. הסיכוי לעבור את המבחן בכלכלה הנו 0.8 והסיכוי לעבור את המבחן בסטטיסטיקה הנו 0.9. הסיכוי לעבור את שני המבחנים הנו יהי X מספר הקורסים שהסטודנט עבר. יהי Y משתנה אינדיקטור המקבל את הערך אחד אם הסטודנט עבר את הבחינה בכלכלה ואפס אחרת. בנו את פונקצית ההסתברות המשותפת של X ו Y ואת השוליות. האם X ו- Y הם משתנים בלתי תלויים? ג. מהו מקדם המתאם בין X ל- Y. האם המשתנים מתואמים?. מטילים מטבע שלוש פעמים. נגדיר את X להיות מספר העצים המתקבלים בשתי ההטלות הראשונות ואת Y להיות מספר העצים המתקבלים בשתי ההטלות האחרונות. בנו את פונקצית ההסתברות המשותפת של X ו Y ואת פונקציות ההסתברות השוליות. האם X ו- Y הם משתנים בלתי תלויים? ג. מהו מקדם המתאם בין X ל- Y. האם המשתנים מתואמים? ד. אם בשתי ההטלות הראשונות יצא בדיוק עץ אחד, מה ההסתברות שבשתי ההטלות האחרונות יצאו שני עצים? ה. אם בשתי ההטלות האחרונות יצא לפחות פעם אחת עץ, מה ההסתברות שבשתי ההטלות הראשונות יצא עץ אחד? 3. אדם נכנס לקזינו עם 75 דולר. הוא ישחק במכונת מזל בה יש סיכוי של 03 לנצח. במקרה של ניצחון במשחק הוא יקבל מהקזינו 5 דולר ובמקרה של הפסד הוא ישלם 5 דולר. אותו אדם החליט שיפסיק לשחק ברגע שיהיה לו 100 דולר, אך בכל מקרה לא ישחק יותר מ 3 משחקים. נגדיר את X להיות הכסף שברשות האדם בצאתו מהקזינו ואת Y מספר המשחקים שהאדם שיחק. בנו את פונקצית ההסתברות המשותפת. מה תוחלת מספר המשחקים שישחק האדם? ג. אם האדם יצא מהקזינו שברשותו 100 דולר, מה התוחלת ומהי השונות של מספר המשחקים ששיחק?

54 53 4. מפעל משווק מוצר הנארז בחבילות בגדלים שונים. ישנו מספר שווה של חבילות בנות שני מוצרים ושלושה מוצרים. ההסתברות שמוצר מסוים יהיה פגום היא באקראי חבילת מוצרים לשם בקורת איכות. יהיו: X מספר המוצרים בחבילה, המוצרים הפגומים בחבילה. מה ההתפלגות של המשתנה Y בהינתן X הינו 3. מה ההתפלגות של המשתנה Y בהינתן X הינו K כלשהו. ג. מהי תוחלת מספר המוצרים הפגומים בחבילות בנות ד. בנה את פונקצית ההסתברות המשותפת. 3 מוצרים? נמקו. 1/10. מהנדס הייצור בוחר Y מספר 5. מתוך כד עם שלושה כדורים ממוספרים במספרים 8 4,, שולפים באקראי שני כדורים החזרה. נגדיר: - X המספר הקטן מבין השניים; Y המספר הגדול מבין השניים. חשבו את ההתפלגות של (Y,X). אם המספר המינימאלי שנבחר הוא, מה הסיכוי שהמספר המקסימאלי 8? ג. חשבו את ההתפלגות המותנית של X בהינתן = 4.Y מצאו 4) = Y.E(X / ללא 6. מבחן בנוי מחלק כמותי ומחלק מילולי. תוחלת הציון בחלק המילולי הנו 100 עם סטית תקן 0 ובחלק הכמותי תוחלת הציון 90 עם סטיית תקן 15. מקדם המתאם בין שני הציונים הוא 0.9. חשבו את השונות המשותפת בין ציוני שני חלקי הבחינה. אם יעלו את כל הציונים בחלק המילולי ב-, 0% מה יהיה מקדם המתאם בין הציון המילולי החדש לציון הכמותי ובין הציון המילולי הישן לציון המילולי החדש? ג. נגדיר משתנה חדש W להיות המרחק של הציון בחשיבה מילולית מהציון המקסימאלי בבחינה מצא את מקדם המתאם בין הציון המילולי ל- W ובין W ל-לציון הכמותי. ד. מה התוחלת ומהי השונות של סכום הציונים? ה. מה התוחלת ומה השונות של פער הציונים בין החשיבה המילולית לחשיבה הכמותית?

55 54 U תשובות סופיות למשתנה המקרי הדו מימדי הבדיד Uשאלה תלויים. ג. מקדם המתאם : 0.5. מתואמים. ד. 0.5 ה. 0.5 Uשאלה 4 ג. 0.3 Uשאלה , 0.9 ג. -0.9, -1 ד. תוחלת 190 ושונות 1165 ה. תוחלת 10 ושונות 85 Uשאלה 1 תלויים ג. מקדם המתאם : מתואמים. Uשאלה 3.4 ג. התוחלת והשונות Uשאלה ג. תוחלת

56 -U U cov( U r U SUP P f n Uשכיחות Uסטטיסטיקה תאורית : U מסומן באות. f כמות התצפיות עבור כל ערך של המשתנה. Uשכיחות יחסית ) פרופורצייה) Uהצפיפות Uמחושבת בכל מחלקה על ידי חלוקת השכיחות ברוחב של כל המחלקה. Uדיאגרמת מקלות : Uתיאור הגרפי של טבלת שכיחויות: הציר האופקי הוא הציר של המשתנה הציר האנכי של השכיחות הגובה של המקל מעיד על השכיחות. Uבהיסטוגרמה ציר האופקי הוא הציר של המשתנה וציר האנכי הוא הציר של הצפיפות. השטח של כל מלבן בהיסטוגרמה מעיד על השכיחות של המחלקה. U md = X n + 1 Uהשכיח U MO ברשימה או בטבלה בדידה: ערך המשתנה הנפוץ ביותר בהתפלגות. תחום (טווח) MR Uאמצע במחלקות : אמצע המחלקה הצפופה ביותר. X MR = min + X Uהחציון Uהחציון Md הוא ערך שמחצית מהתצפיות קטנות או שוות לו ומחצית מהתצפיות גדולות או שוות לו. מציאת חציון ברשימת תצפיות: שלב א: נסדר את התצפיות בסדר עולה. שלב ב: שיש מספר אי-זוגי של תצפיות החציון יהיה : max Md = L + 0 n F( xm 1) ( L1 L0 ) f ( x ) m X md = n + X n + 1 ושיש מספר זוגי של תצפיות החציון יהיה : מציאת חציון במחלקות: שלב א : נימצא את המחלקה החציונית שמיקומה יהיה n. שלב ב: נציב בנוסחה הבאה : L 1 L 0 השכיחות של המחלקה החציונית. - גבול תחתון של המחלקה החציונית - גבול עליון f( x ) - m ) x F ( שכיחות מצטברת של מחלקה אחת לפני המחלקה החציונית. m 1 הערה : בטבלת שכיחויות במחלקות נשתמש בתור x באמצע מחלקה. ( x x) f( x) x f( x) x x x = = x s n n בטבלה : x f ( x) x = x n בטבלה : n xi i= 1 x = ברשימה : n R= X X n n i i i= 1 i= 1 ( x x) x s = n = n x x min max : ברשימה: Uממוצע U RU Uטווח Uשונות הערה: בטבלת שכיחויות במחלקות נשתמש בתור x באמצע מחלקה. - ערך ש- %p מהתצפיות קטנות ממנו. מציאות אחוזונים במחלקות : X P :U ומאונים Uאחוזונים np F( xm 1) X = L ( L L ) P f( xm ) n p. שלב ב: נציב בנוסחה הבאה : 100 שלב א : נימצא את המחלקה הרלבנטית שמיקומה יהיה. x L 100 p f X F X L L n 0 x = [ ( m) + ( m 1)] 1 0 אם רוצים למצוא את אחוז התצפיות שקטנות מ- X נציב בנוסחה הבאה : y = b x+ a לינארית: U Uטרנספורמציה מצב שבו מבצעים שינוי מסוג הוספה של קבוע ) או החסרה ( והכפלה של קבוע ) או חילוק) לכל התצפיות: וכך יושפעו המדדים השונים: Y = b X + a k p j = 1 x n j j P y = b x + a s = bs y x x = ; N = nj ; sc = + N N k j = 1 R y = b R k k njsj j j = 1 j = 1 Mo = b Mo + a x y Md = b Md + a y n ( x x) j N x x MR = b MR + a s y y = b s משוקלל ושונות מצורפת: U Uממוצע x x Uמדד הקשר למדא : L L מדד הקשר קרמר λ = x/ y L Uמדדי קשר: 1 1 ( O E) i i r = χ = c nl ( 1) nl ( 1) i E ~ rsy s y = bx + a ; b = ; a = y bx ; r = s s x i ~ y y : U COV ( X, Y ) U x x/ y x s λ y/ x L L y y/ x U = n L y 6 di Uמדד הקשר ספירמן: = 1 i = 1 n( n 1) xy, ) r = ss n n ( x x)( y y) i i x y i i i= 1 i= 1 = = n x y n Uמדד הקשר של פירסון: x y

57 U ( U ( U :U U במרחב מדגם אחיד הסיכוי למאורע יהיה : Uהסתברות:. A pa= ( ) Ω PA ( B) PB ( A) = PA ( ), pa ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) pa ( ) = 1 PA ( ) PA ( B) = 0 A B= Uמאורעות זרים : {} PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) pa ( B) = PA ( ) PB ( ) Uתלות בין מאורעות בלתי תלויים אם ורק אם k : n : ( n) = n ( n 1) ( n )... ( n k+ 1) k UקומבינטוריקהU : דגימה של k עצמים מתוך n עצמים שונים עם חשיבות לסדר ועם החזרה : דגימה של k עצמים מתוך n עצמים שונים עם חשיבות לסדר וללא החזרה דגימה של k עצמים מתוך n עצמים שונים ללא חשיבות לסדר וללא החזרה:!n n = k k!( n k)! n! = 1 ( n 1) n תמורה: סידור n עצמים שונים בשורה : E( X) = xp( x ) = µ V( X) = ( x µ ) Px ( ) = xpx ( ) µ = σ i i i i i i i i i בדיד: U Uמשתנה σ = bσ Y x VY b V X ( ) = ( ) לינארית: U Uטרנספורמציה אם Y = bx + a Uתוחלת ושונות של סכום משתנים מקריים: אזי: E( Y ) = be( X ) + a E( X1 + X Xn) = E( X1) + E( X) E( Xn),X Xn,..., משתנים מקריים בלתי תלויים בינהם, אזי: X1 V ( X1 + X Xn) = V ( X1) + V ( X) V ( Xn) Uהתפלגויות מיוחדות: אם בינומית: U Uהתפלגות Uבדיד: X ~ B( n, p) 1. חוזרים על אותו ניסוי ברנולי באופן בלתי תלוי זה בזה.. חוזרים על הניסוי n פעמים. n k = 01,,,..., n P X k k p k p n k ( = ) = ( ) 1 3. X מוגדר כמספר ההצלחות המתקבלות בסך הכל. E( X ) = np גאומטרית: Uהתפלגות V ( X ) = npq = np(1 p) q = (1 p) X GP). חוזרים על אותו ניסוי ברנולי באופן בלתי תלוי בזה אחר זה. k 1 px ( > K) = (1 P) K px ( = k) = (1 p) p k = 1,.... X- מוגדר כמספר הניסויים שבוצעו עד ההצלחה הראשונה כולל. k λ λ PX ( = k) = e k! k = 1, P EX ( ) =, VX ( ) = P P X P( λ).1 Uהתפלגות פואסונית: התפלגות פואסונית מאפיינת את מספר האירועים המתרחשים ביחידת זמן. λ - קצב האירועים ביחידת הזמן. EX ( ) = VX ( ) = λ (, ) X N µσ נורמליתU : Uהתפלגות Uרציף: X N ( µσ, ) הופכים בעזרת הנוסחה להתפלגות נורמאלית סטנדרטית X µ Z = σ P( Z z) = φ( z) ; P( Z > z) = 1 φ( z) התפלגות נורמאלית סטנדרתית z N ( 0,1 ) בעזרת שימוש בטבלה נמצא את ההסתברות הסתברות P ( b a) V( X) = 1 X exp( λ) מעריכית: U Uהתפלגות זמן עד להתרחשות מאורע ראשון ) כאשר מספר האירועים ליחידת זמן מתפלג פואסונית) a+ b EX ( ) = 1 1 EX ( ) = V( X) = λ λ t a Ft () = PX ( t) = b a Ft () = px ( t) = 1 e λt Uהתפלגות X אחידה:(, ab U X ו Y יהיו משתנים Uבלתי תלוים Uאם עבור כל X ו- Y אפשריים מתקיים: Uמשתנה מקרי דו מימדי בדיד px ( = ky, = l) = px ( = k) py ( = l) משתנים Uבלתי מתואמיםU : הם משתנים שמקדם המתאם שלהם אפס וכדי שדבר כזה יקרה השונות המשותפת צריכה להתאפס. cov( xy, ) = Ex ( y) Ex ( ) Ey ( ) cov( xy, ) E( X Y ) ρ = σ σ x y = xyp